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こちらに従って話を進めます。
計算の過程は色々省略してる部分があります。
回転矢印表記の頁で求めたように、
と求めた。
オリジナルの表記では、となる。
Nは3(↑G)(↑G)(↑G)(↑G)3、ここでGはグラハム数を差す。
これはさらに、矢印回転表記の定義より、3(→G)3(→G)4と直すことができる。
ふぃっしゅ氏による表記でこれを表すと↑4G+1(3,3,4)となる。
つまり、Array表記に当てはめて≒{3,3,2,1,4G+1}となる。
しかし、Gは十分な巨大数なので、4を掛けたり1を足したりした所でびくともしない。
つまり、≒{3,3,2,1,G}と近似しても良い。
さらに、≒{3,3,3,3,G}または{10,10,10,10,G}、あるいは≒{G,G,G,G,G}={G,2,1,1,1,2}としても良い。
（上位の数字が巨大数であれば、下位の数字は（その数のオーダーを超えない範囲で）いかようにも近似できる）
さらに6変数Arrayに対して、次のような関係が成り立つ。
次にこれを拡大させるために利用する関数について。
これは ＜～{n,n,n-2,1,4n} と近似できる。
nが十分巨大であれば、≒{n,n,n,1,n}、あるいは≒{3,3,3,3,n}、≒{n,n,n,n,n}={n,2,1,1,1,2}などとできる。
先ほどのを
と置くと、
まずX(1)=f(N)、X(2)=f(X(1))=f(f(N))、X(3)=f(X(2))=f(f(f(N)))、・・・となる。
つまりとなる。
ここで、X(0)=Nとすると、上記は次のように計算できる。
X(0) = N ≒ {G,2,1,1,1,2} ＜ {3,3,1,1,1,2}
X(1) ≒ {N,2,1,1,1,2} ≒ {G,3,1,1,1,2} ＜ {3,4,1,1,1,2}
X(2) ≒ {N,3,1,1,1,2} ≒ {G,4,1,1,1,2} ＜ {3,5,1,1,1,2}
X(n) ≒ {N,n+1,1,1,1,2} ≒ {G,n+2,1,1,1,2} ＜ {3,n+3,1,1,1,2}
さらに、このX(n)をとして、
とする。
これは次のように計算できる。
≒ {N,N,1,1,1,2} = {N,2,2,1,1,2} ＜ {3,3,2,1,1,2}
≒ {N,3,2,1,1,2} ＜ {3,4,2,1,1,2}
≒ {N,n+1,2,1,1,2} ＜ {3,n+2,2,1,1,2}
≒ {N,N,2,1,1,2} = {N,2,3,1,1,2} ＜ {3,3,3,1,1,2}
≒ {N,n+1,3,1,1,2} ＜ {3,n+2,3,1,1,2}
≒ {N,n+1,4,1,1,2} ＜ {3,n+2,4,1,1,2}
≒ {N,n+1,m,1,1,2} ＜ {3,n+2,m,1,1,2}
である。つまり ≒ {N,N,N,1,1,2} ≒ {N,2,1,2,1,2} ＜ {3,3,1,2,1,2}となる。
次にを考える。これはつまり
に相当し、≒ {N,3,1,2,1,2} ＜ {3,4,1,2,1,2} と求められる。
このような入れ子操作を進行させ、これに達したものが、旧バード数となる。
ふぃっしゅ氏が『巨大数論』に書いた数式表現を借りれば、
とした時の
が旧バード数となる。
この関数記号F(n)を用いて、再度入れ子の過程を追っていくと、
≒ {N,2,1,2,1,2} ＜ {3,3,1,2,1,2}
≒ {N,3,1,2,1,2} ＜ {3,4,1,2,1,2}
≒ {N,4,1,2,1,2} ＜ {3,5,1,2,1,2}
≒ {N,5,1,2,1,2} ＜ {3,6,1,2,1,2}
となり、Arrayの2つ目の数字を増加させることに繋がっているため、この数は次のように計算される。
これをArray表記で可能な限り厳密に見積もれば、
B ≒ {3,X_H(N),1,2,1,2}
≒ {3,{N,3,1,2,1,2},1,2,1,2}
≒ {3,{{3,3,2,1,4G+1},3,1,2,1,2},1,2,1,2}
となり、大雑把には、次のようになる。
Fast-Growing Hierarchyだと…このレベルまでの計算が出来てないので正確には解りません。おそらくはぐらい？
