おこじょ数

おこじょ数は、2013年にAetonによって定義された微小数、およびその逆数の巨大数のペアである。以下、2013/12/31時点での定義（Ver. 1.1）を示す。
http://www.geocities.jp/aetonal/files/LNtest2.txt（元々の定義文）

関数 $f(n)$ を以下で定める。

$f(n)=x$ 、ただし $(10\uparrow\uparrow n)^{10\uparrow\uparrow n}=(10\uparrow)^{n+2}x$ とする。

多変数関数 $f(z,y,\dots,b,a)$ を以下で定める。

$f(1,1,\square)=f(54,\square)$
$f(1,\square,n)=f(\frac{1}{f(1,\square,n-1)},\square)$

　　　　※ $\frac{1}{f(1,\square,n-1)}$ が整数でない場合、代入時に四捨五入する（以下同様）。

$f(\blacksquare,m,1,\square)=f(\blacksquare,m-1,54,\square)$
$f(\blacksquare,m,\square,n)=f(\blacksquare,m-1,\frac{1}{f(\blacksquare,m,\square,n-1)},\square)$

ただし、

$\square$ ：0個以上の1
$\blacksquare$ ：0個以上の1以上の数
$m,n$ ：1より大きい数

とする。

$Oe(n)=f(\underbrace{1,1,\dots,1}_{n\text{ copies of }1},1)$ と定めた時の、

$Oe(54)$ を冬おこじょ数（Okojo-ermine Number, $Oe$ ）とする。

また $\frac{1}{Oe}$ を夏おこじょ数（Okojo-stoat Number, $Os$ ）、 $\frac{1}{Oe(n)}=Os(n)$ とする（この場合四捨五入の必要は無い）。

$Oe(n)$ 、 $Os(n)$ をおこじょ関数とする。

計算

f(1)

(10↑↑1)^(10↑↑1) = 10^10 = 10^10^1 = 10^10^10^0
∴f(1)=0

f(2)

(10↑↑2)^(10↑↑2) = (10^10)^(10^10) = 10^(10×10^10) = 10^10^(1+10) = 10^10^11 = 10^10^10^10^x

$\therefore f(2)=\text{log}_{10}(\text{log}_{10}11) \fallingdotseq0.0176$

f(3)

(10↑↑3)^(10↑↑3) = (10^10^10)^(10^10^10) = 10^10^(10+10^10) = 10^10^10000000010 = 10^10^10^10^10^x

$\therefore f(3) =\text{log}_{10}(\text{log}_{10}(\text{log}_{10}10000000010)) \fallingdotseq8.2\times10^{-12}$

f(4)

(10↑↑4)^(10↑↑4) = (10^10^10^10)^(10^10^10^10) = 10^10^(10^10+10^10^10) = 10^10^10^10^10^10^x

$\therefore f(4)= \text{log}_{10}(\text{log}_{10}(\text{log}_{10}(\text{log}_{10}(10^{10}+10^{10^{10}}))))$

ここから先の計算が難しい。一つ準備が必要になる。

1.000...の対数

1に限りなく近く、しかし1より僅かながら大きい数に対数を掛ける事を考える。その“誤差”が計算機の計算精度より遥かに微量である場合に、それをどう計算するか。

筆者が高精度計算サイトを利用して試しに1+10^{-n}の対数を計算してみると、
log_10(1+10^-1) = 4.1392685…×10^-2
log_10(1+10^-2) = 4.3213737…×10^-3
log_10(1+10^-3) = 4.3407747…×10^-4
log_10(1+10^-4) = 4.3427276…×10^-5
log_10(1+10^-5) = 4.3429231…×10^-6
log_10(1+10^-6) = 4.3429426…×10^-7
log_10(1+10^-7) = 4.3429446…×10^-8
log_10(1+10^-8) = 4.3429447…×10^-9
log_10(1+10^-9) = 4.3429448…×10^-10
log_10(1+10^-10) = 4.3429448…×10^-11
となり、4.3429448…×10^{-n-1}に収束しているように見える。
これは、n=100の時でもn=10^100の時でもn=10^10^10^10の時でも有効だろうか？

筆者がこの関数を提示した際に、ふぃっしゅっしゅ氏も計算を試みている。
氏はテイラー展開を利用して、次の式が得られるとしている。
（注：筆者はテイラー展開に関する知識がありません）

$|x|\ll 1$ のとき、 $\text{log}_e(1+x)\fallingdotseq x$

この式を底の変換公式を使って変形すると、

$\frac{\text{log}_{10}(1+x)}{\text{log}_{10}(e)}\fallingdotseq x$

$\text{log}_{10}(1+x)}\fallingdotseq \text{log}_{10}e}\times x \fallingdotseq0.43429448\dots\times x$

となり、先ほどの計算結果と一致する。
ここでN>>0であれば、

$\text{log}_{10}(1+10^{-N})\fallingdotseq10^{-N}$ とできることになる。

以上がf(4)以降の計算に必要になる。

f(4)

=log_10(log_10(log_10(log_10(　10^10+10^10^10　))))

　※10^10+10^10^10=1000…00010000000000、つまり1の後に0がおよそ10^10個続いた後に1が来る10^10桁の数なので、次の様に近似変形できる。

≒log_10(log_10(log_10(log_10(　(1+10^-10^10)×10^10^10　))))

　※(1+微小数)が現れたので、これに先ほどの対数近似を適用できる。

≒log_10(log_10(log_10(log_10(　10^10^-10^10×10^10^10　))))
=log_10(log_10(log_10(log_10(　10^(10^-10^10+10^10)　))))
=log_10(log_10(log_10(　10^-10^10+10^10　)))
≒log_10(log_10(log_10(　(1+10^-10^10)×10^10　)))
≒log_10(log_10(log_10(　10^10^-10^10×10^10　)))
=log_10(log_10(log_10(　10^(10^-10^10+10)　)))
=log_10(log_10(　10^-10^10+10　))
≒log_10(log_10(　(1+10^-10^10)×10^1　))
≒log_10(log_10(　10^10^-10^10×10^1　))
=log_10(log_10(　10^(10^-10^10+1)　))
=log_10(　1+10^-10^10　)

つまり $f(4)\fallingdotseq10^{-10^{10}}$ となる。

f(n)

これまでの経緯を追っていくと、
$f(n)=\underbrace{ \text{log}_{10}(\text{log}_{10}(\dots(\text{log}_{10} }_{n}(10\uparrow\uparrow(n-2)+10\uparrow\uparrow(n-1)))\dots))$ とできる。

また、f(4)で行ったような計算をf(5)、f(6)にも同様に当てはめて行くと（計算過程は省略）、最終的に

$f(n)\fallingdotseq10^{-10\uparrow\uparrow(n-2)} =\frac{1}{10\uparrow\uparrow(n-1)}$ に近似する。これは $(10\uparrow\uparrow(n-1))^{-1}$ とも書けるので、以降はこの表記を利用する。

以降の計算

$f(1,1)=f(54)\fallingdotseq(10\uparrow\uparrow53)^{-1}\dots Oe(1)$
- $f(2,1)=f(1,54)\fallingdotseq((10\uparrow\uparrow)^{54}53)^{-1}$ 　　　　※(52↑↑↑55)^-1 ＞ f(2,1) ＞≒ (53↑↑↑55)^-1
- - 　　　　※(54↑↑↑↑55)^-1 ＞ f(3,1) ＞≒ (55↑↑↑↑55)^-1
 - 　　　　※(54↑↑↑↑↑55)^-1 ＞ f(4,1) ＞≒ (55↑↑↑↑↑55)^-1
 - $f(1,1,1)=f(54,1)\gtrsim(55\uparrow^{55}55)^{-1} </li></ul> =\{55,55,55\}^{-1}=\{55,2,1,2\}^{-1}\dots Oe(2)$
 
 $f(1,1,2)=f(f(1,1,1)^{-1},1)\gtrsim\{55,55,\{55,55,55\}\}^{-1}=\{55,3,1,2\}^{-1}$
 $f(1,2,1)=f(1,1,54)\gtrsim\{55,55,1,2\}^{-1} </li></ul> =\{55,2,2,2\}^{-1}>G^{-1}$
 
 $f(1,3,1)=f(1,2,54)\gtrsim\{55,55,2,2\}^{-1}=\{55,2,3,2\}^{-1}$
 $f(2,1,1)=f(1,54,1)\gtrsim\{55,55,53,2\}^{-1} </li></ul> \lesssim\{53,2,1,3\}^{-1}$
 
 $f(2,1,2)=f(1,f(2,1,1)^{-1},1) </li></ul> \gtrsim\{55,55,\{55,55,53,2\},2\}^{-1}\lesssim\{53,3,1,3\}^{-1}$
 
 $f(2,2,1)=f(2,1,54)\lesssim\{53,55,1,3\}^{-1} </li></ul> \gtrsim\{55,2,2,3\}^{-1}$
 
 $f(2,3,1)=f(2,1,54)\gtrsim\{55,55,2,3\}^{-1} </li></ul> \gtrsim\{55,1,3,3\}^{-1}$
 
 $f(3,1,1)=f(2,54,1)\gtrsim\{55,55,53,3\}^{-1} </li></ul> \lesssim\{53,2,1,4\}^{-1}$
 
 $f(1,1,1,1)=f(54,1,1)\gtrsim\{55,55,53,54\}^{-1} </li></ul> \gtrsim\{54,2,1,1,2\}^{-1}\dots Oe(3)$
 
 $f(1,1,2,1)=f(1,1,1,54)\gtrsim\{54,55,1,1,2\}^{-1} </li></ul> \gtrsim\{55,2,2,1,2\}^{-1}>F_1^{-1}$
 
 $f(1,2,1,1)=f(1,1,54,1)\gtrsim\{55,55,53,1,2\}^{-1} </li></ul> \lesssim\{53,2,1,2,2\}^{-1}$
 
 $f(2,1,1,1)=f(1,54,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,2\}^{-1} </li></ul> \lesssim\{53,2,1,1,3\}^{-1}$
 
 $f(1,1,1,1,1)=f(54,1,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,54\}^{-1} </li></ul> \gtrsim\{54,2,1,1,1,2\}^{-1}\dots Oe(4)>F_2^{-1}$ 　※旧おこじょ数がおおよそ新Oe(4)程度となる。
 
 $f(1,1,1,2,1)=f(1,1,1,1,54)\gtrsim\{54,55,1,1,1,2\}^{-1} </li></ul> \gtrsim\{55,2,2,1,1,2\}^{-1}$
 
 $f(1,1,2,1,1)=f(1,1,1,54,1)\gtrsim\{55,55,53,1,1,2\}^{-1} </li></ul> \lesssim\{53,2,1,2,1,2\}^{-1}$
 
 $f(1,2,1,1,1)=f(1,1,54,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,1,2\}^{-1} </li></ul> \lesssim\{53,2,1,1,2,2\}^{-1}$
 
 $f(2,1,1,1,1)=f(1,54,1,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,53,2\}^{-1} </li></ul> \lesssim\{53,2,1,1,1,3\}^{-1}$
 
 $f(1,1,1,1,1,1)=f(54,1,1,1,1)\gtrsim\{55,55,53,53,53,54\}^{-1} </li></ul> \gtrsim\{54,2,1,1,1,1,2\}^{-1}\dots Oe(5)$
 
 $Oe=Oe(54)=f(\underbrace{1,1,\dots,1,1}_{55})\gtrsim\{\underbrace{55,55,53,\dots,53,54}_{55}\}^{-1} \gtrsim\{54,55(1)2\}^{-1}\fallingdotseq f_{\omega^\omega}(53)^{-1}$
 $Os=Oe^{-1}=f(\underbrace{1,1,\dots,1,1}_{55})^{-1}\lesssim\{\underbrace{55,55,53,\dots,53,54}_{55}\} \lesssim\{54,55(1)2\}\fallingdotseq f_{\omega^\omega}(53)$
 
 タグ：
 
 + タグ編集
 
 タグ：
 
 このサイトはreCAPTCHAによって保護されており、Googleのプライバシーポリシーと利用規約が適用されます。
 
 タグの更新に失敗しました
 
 エラーが発生しました。ページを更新してください。
 
 ページを更新
 
 「おこじょ数」をウィキ内検索
 
 最終更新：2014年02月17日 12:46

巨大数資料wiki

メニュー

リンク

アクセスカウンタ

更新履歴

おこじょ数

計算

f(1)

f(2)

f(3)

f(4)

1.000...の対数

f(4)

f(n)

以降の計算